両端が固定された電線を含む平面内で、水平方向に $x$ 軸、鉛直上方に $y$ 軸をとり、電線の線密度（単位長さの質量）を$\sigma_0$（一定）、電線のある点から電線に沿って測った長さを $s$、電線の張力を $T$ とします。

電線の微小部分に働く水平方向の張力の釣り合いを考えると

\[ dT_x=0 \]

鉛直方向の釣り合いは、微小部分の重さが $\sigma_0g\,ds$ であることから

\[ dT_y= \sigma_0g\,ds \]

したがって

\[ \frac{dT_x}{ds}=0, \quad \frac{dT_y}{ds}= \sigma_0g \]

となります。

この2式を積分すると、$T_x=T\frac{dx}{ds}$, $T_y=T\frac{dy}{ds}$であることから

\[ T_x=T\frac{dx}{ds}=T_0（一定）, \quad T_y=T\frac{dy}{ds}= \sigma_0gs \]

となります。ただし電線の最下点を $s=0$ としました。この2式の比をとれば

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{ \sigma_0 g}{T_0}s \]

$ds= \sqrt {1+ \left (\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$ であることから、微分して

\[ \frac{d^2 y}{dx^2}=\frac{\sigma_0 g}{T_0} \sqrt {1+ \left ( \frac{dy}{dx} \right) ^2} \]

となります。
この微分方程式の解は $a=\frac{T_0}{ \sigma_0 g}$, $C_1$, $C_2$ を定数として

\[ y=a \cosh \left(\frac{x}{a}+C_1 \right)+C_2 \]

となります。これがカテナリー曲線の式となります。

(参考文献： 戸田盛和, 一般力学30講, 朝倉書店, 1994.)